Concours ENSA 2021 Mathématiques

Question 1

Une condition nécessaire (pas forcément suffisante) pour réussir le concours de l'ENSA est :

A) Avoir répondu correctement à tout le QCM B) Avoir au plus 25% de réponses fausses C) Avoir au moins 50% de réponses correctes D) Avoir passé le concours

Question 2

Le 17 juillet 2021, jour du concours de l'ENSA, est un samedi. Quel jour de la semaine sera le 29 février 2024 ?

A) mardi B) jeudi C) samedi D) lundi

Question 3

Le nombre de diviseurs de \( N = 72^{10} \times 162^{50} \) est :

A) 17600 B) 17680 C) 17820 D) 17901

Question 4

Soient x et y deux réels non nuls, inverses l'un de l'autre, tels que la somme du carré de leur somme avec la somme de leurs carrés est égale à 10. Le carré du nombre x vaut :

A) 2 − \( \sqrt{3} \) ou 2 + \( \sqrt{3} \) B) 1 − \( \sqrt{5} \) ou 1 + \( \sqrt{5} \) C) 1 − \( \sqrt{3} \) ou 1 + \( \sqrt{3} \) D) 2 − \( \sqrt{5} \) ou 2 + \( \sqrt{5} \)

Question 5

Le produit \[ \prod_{k=0}^{9} \left( \sqrt[3.2^{k}]{5} \right) = \]

A) \(\sqrt[3]{5^{\frac{511}{256}}}\) B) \(\sqrt[3]{5^{\frac{1023}{256}}}\) C) \(\sqrt[3]{5^{\frac{1023}{512}}}\) D) \(\sqrt[3]{5^{\frac{511}{1024}}}\)

Question 6

\[ \lim_{n \to +\infty} 3^n e^{-3n} = \]

A) 1 B) 0 C) \( +\infty \) D) \( e \)

Question 7

En remarquant que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), le nombre \( (3 + \sqrt{5})^n + (3 - \sqrt{5})^n \) est un entier pair, \( \lim_{n \to +\infty} \sin \left( (3 + \sqrt{5})^n \pi \right) = \)

A) 1 B) -1 C) 0 D) \( +\infty \)

Question 8

\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3} \sin x - \cos x}{x - \frac{\pi}{6}} = \]

A) 0 B) 1 C) 2 D) \( +\infty \)

Question 9

\[ \lim_{x \to 0^+} x^{\left( \frac{1}{\ln 3x} \right)} = \]

A) \( e \) B) 0 C) \( \ln 3 \) D) \( 1 + e \)

Question 10

Soit \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) une fonction \( T \) périodique avec \( T > 0 \), telle que \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) existe dans \( \mathbb{R}^* \). Alors:

A) \( f \) est strictement croissante B) \( f \) est strictement décroissante C) \( f \) est la fonction nulle D) \( f \) est une constante non nulle

Question 11

Soit la fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = \begin{cases} x^2 + x^3 \cos \frac{1}{x}, & \text{si } x \neq 0 \\ 0, & \text{si } x = 0 \end{cases} \] Soit \( f' \) la dérivée d'ordre 1 de \( f \).

A) \( f'(0) = 1 \) B) \( f'(0) = 0 \) C) \( f'(0) = 2 \) D) \( f \) n'est pas dérivable en 0

Question 12

Pour la même fonction \( f \) de Q11, on note \( f'' \) sa dérivée d'ordre 2. Alors :

A) \( f''(0) = 0 \) B) \( f''(0) = 1 \) C) \( f''(0) = 2 \) D) \( f \) n'est pas deux fois dérivable en 0

Question 13

L'aire de la région délimitée par la courbe d'équation \( y = \cos (\ln x) \) et les droites d'équations \( x = e^{\frac{\pi}{2}} \) et \( x = e^{\pi} \) est égale à :

A) \( \frac{1}{2} \left(e^{\pi} + e^{\frac{\pi}{2}}\right) \) B) \( e^{\pi} - e^{\frac{\pi}{2}} \) C) \( e^{\pi} + e^{\frac{\pi}{2}} \) D) \( e^{\pi} \)

Question 14

Soit \( f:[0; a] \to \mathbb{R} \) continue telle que \( f(x) \neq -1 \) et \( f(x) \cdot f(a-x) = 1 \). \( \int_{0}^{a} \frac{1}{1+f(x)} \, dx = \)

A) \( \frac{a}{2} \) B) \( a \) C) \( 1 + a \) D) \( \frac{1}{1+a} \)

Question 15

Soit la fonction réelle \( f(x) = e^{-x} \sin (x) \) et \( f^{(4)} \) sa dérivée d'ordre 4, alors \( f^{(4)}(x) = \)

A) -\( f(x) \) B) -4\( f(x) \) C) 4\( f(x) \) D) -3\( f(x) \)

Question 16

Pour la même fonction \( f \) de Q15, \( \int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = \)

A) \( \frac{1}{3}(1 - e^{-\pi}) \) B) \( \frac{1}{2}(1 + e^{-\pi}) \) C) \( \frac{1}{4}(1 - e^{-\pi}) \) D) \( \frac{1}{5}(1 + e^{-\pi}) \)

Question 17

Soit \( u \) la solution de l'équation à variable complexe : \( z z̄ + 4iz = -3 + 4i \). Alors:

A) \( \text{Re}(u) \times \text{Im}(u) = 2 \) B) \( \text{Re}(u) \times \text{Im}(u) = 1 \) C) \( \text{Re}(u) + \text{Im}(u) = 2 \) D) \( u \) est un imaginaire pur

Question 18

Soient \( z_1 \) et \( z_2 \) les solutions de l'équation à variable complexe : \( z^2 - 2 z̄ + 3 = 0 \). \( \text{Re}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \)

A) \( -\frac{2\sqrt{6}}{7} \) B) \( \frac{2\sqrt{6}}{7} \) C) \( \frac{5}{7} \) D) \( -\frac{5}{7} \)

Question 19

Soient \( \theta \) un nombre réel non nul et \( z \) un nombre complexe tels que : \( z = \cos^2 \theta + i \sin \theta \cos \theta \). La partie réelle du nombre \( z^{-3} \) est :

A) \( \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \) B) \( \frac{\sin 3\theta}{\sin^3 \theta} \) C) \( \frac{\cos 3\theta}{\cos^3 \theta} \) D) \( \frac{\sin \theta}{\cos^3 \theta} \)

Question 20

Le nombre \( \cos 5\theta \) est égal à :

A) \( \cos^5 \theta + 10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta \) B) \( \cos^5 \theta + 5 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + 10 \cos \theta \sin^4 \theta \) C) \( \cos^5 \theta - 10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + \cos \theta \sin^4 \theta \) D) \( \cos^5 \theta - 10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta \)

Concours d'accès en 1^ère année des ENSA Maroc 2021

Épreuve de Mathématiques

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